Tippmix Hu Mobil
A válasz nagyon egyszerű. A program azoknak a pontoknak a megszínezésére ad parancsot, amelyek két koordinátáját a megadott egyenletbe behelyettesítve igaz kijelentést kapunk. Például a (4; 2) (ejtsd: négy-kettő) számpár esetén az y helyébe kettőt, az x helyébe pedig négyet kell írnunk. Igaz kijelentést kaptunk, tehát az A(4; 2) (ejtsd: A- négy-kettő) pontot pirosra kell színezni. A B(2; –1, 6) (ejtsd: Bé-kettő-mínusz egy egész hat tized) pontot azonban nem kell pirosra színezni, mert hamis kijelentést kapunk. Rajzoltassunk a számítógéppel egy olyan kört, amelynek a középpontja az origó és a sugara 5 egység! Gondoljuk végig, hogy melyik egyenletet írhattuk be, amelyre a számítógép ezt a kört adta válaszul! A kör definíciója miatt azok a pontok tartoznak a körhöz, amelyeknek az origótól való távolsága 5 egység. Döntsük el, hogy a W(–3, 1; 3, 9) (ejtsd: W-mínusz három egész egy tized-három egész kilenc tized) pont rajta van-e ezen a körön! A W pont távolsága az origótól a távolságképlettel számítható.
Koordináta geometria, Vektorok, Vektorok összege, Szakasz felezőpontja, Vektor hossza, Két pont távolsága, Skaláris szorzat, Egyenes és pont távolsága, Egyenes egyenlete, Kör egyenlete, Háromszög nevezetes pontjainak koordinátái
Dr. Vancsó Ödön (szerk. ): Matematika 11., Koordinátageometria fejezet, Műszaki Kiadó Marosvári–Korányi–Dömel: Matematika 11. – Közel a mindennapokhoz, Koordinátageometria fejezet, NTK
A számítógép a külvilággal a számok nyelvén kommunikál, tehát a számok segítségét kell igénybe vennünk ahhoz, hogy a gép számára érthetővé tegyük, mely pontokat szeretnénk láthatóvá tenni. Kezdjük a legegyszerűbb esettel! A képernyőre képzeljünk el egy koordináta-rendszert! Ennek segítségével a képernyő bármelyik pontját megjelölhetjük az ismert módon, rendezett számpárok segítségével. Egyesével könnyen tudunk pontokat megadni, de ha például egy vonalat kell megrajzoltatnunk a képernyőn, akkor ezzel a módszerrel szinte lehetetlen a feladatot teljesíteni. Szerencsére van olyan matematikai segédeszközünk, amellyel egyszerre nagyon sok (akár végtelen sok) pontot is meg tudunk adni. Figyeljük meg, hogy mi történik, ha az ${y^2} - x = 0$ (ejtsd: ipszilon-négyzet mínusz iksz egyenlő nulla) egyenletet írjuk be egy rajzolószoftverbe! A program "megérti" a beírt egyenletet, és egy görbét jelenít meg. Honnan tudja a program, hogy mely pontokat kell pirosra színeznie a képernyőn és melyeket kell színezetlenül hagynia?
Előzetes tudás Tanulási célok Narráció szövege Kapcsolódó fogalmak Ajánlott irodalom Ehhez a tanegységhez ismerned kell az egyenlet megoldásának (gyökének) fogalmát, a két pont távolságára vonatkozó koordinátageometriai összefüggést, értened kell az egyenértékű (ekvivalens) egyenlet fogalmát. Ha figyelmesen tanulmányozod a videót, akkor megérted, hogyan lehet egyenletek segítségével rajzokat készíttetni a számítógéppel. Rájössz, hogy a kétismeretlenes egyenletek számodra is jelenthetnek geometriai alakzatokat. Megtanulod, hogyan lehet kört rajzolni egyenlettel, sőt a koordináta-rendszerben megadott körhöz te is tudsz majd egyenletet párosítani. A számítógépek világában senki sem csodálkozik azon, hogy a legkülönbözőbb képeket tudjuk a képernyőre varázsolni. Tudjuk, hogy a kép megjelenítéséhez megfelelő hardverre – például videokártyára, monitorra – és megfelelő szoftverre, programra van szükség. A legbonyolultabb kép megjelenítése is ugyanazon az elven alapul: a számítógépnek meg kell mondani, hogy egy adott pillanatban a képernyő melyik pontja legyen fényes és melyik maradjon sötét.
Eredményül $\sqrt {24, 82} $-t (ejtsd: négyzetgyök alatt huszonnégy egész nyolcvankét századot) kapunk, ami kisebb ötnél. A W pont tehát nincs rajta a körön. A $P\left( {x;y} \right)$ (ejtsd: Pé-iksz-ipszilon) pont tehát akkor és csak akkor lesz rajta az origó középpontú, 5 egység sugarú körön, ha a $\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 5$ (ejtsd: négyzetgyök alatt-x-négyzet plusz y-négyzet egyenlő öt) összefüggés igaz. A négyzetgyökös egyenlet helyett a vele egyenértékű, de egyszerűbb alakú ${x^2} + {y^2} = 25$ (ejtsd: x-négyzet plusz y-négyzet egyenlő huszonöt) egyenlet is írható. Figyeld meg, hogyan változik az origó középpontú körhöz tartozó egyenlet, ha a kör sugarát változtatjuk! Ha a kör középpontja nem az origó, hanem például a C(2; 3) (ejtsd: Cé-kettő-három) pont, akkor azok és csak azok a $P\left( {x;y} \right)$ (ejtsd: Pé-iksz-ipszilon) pontok vannak rajta az öt egység sugarú körön, amelyek öt egység távolságra vannak a C ponttól. A két pont távolságképletét alkalmazva egy négyzetgyökös egyenletet kapunk.
Ennél egyszerűbb alakú a négyzetre emeléssel kapott egyenlet, amely egyenértékű az előbbivel. A három egyenlet bármelyikét nevezhetjük a megadott kör egyenletének. Foglaljuk össze! A kétismeretlenes egyenlet a koordináta-rendszerben – vagy a képernyőn – ponthalmazt határoz meg. Azok a pontok tartoznak a ponthalmazhoz – a képernyőn azok a pontok jelennek meg –, amelyeknek a koordinátáit az egyenletbe behelyettesítve igaz kijelentést kapunk. Megismertük a kör egyenletét. Origó középpontú, r sugarú kör jelenik meg a képernyőn, ha a rajzolóprogramba az ${x^2} + {y^2} = {r^2}$ (ejtsd: x négyzet plusz y négyzet egyenlő r négyzet) egyenletet visszük be, és az r helyébe egy pozitív számot írunk. A C(u; v) (ejtsd: Cé- u-vé) középpontú, r sugarú kör jelenik meg a képernyőn, ha az ${\left( {x - u} \right)^2} + {\left( {y - v} \right)^2} = {r^2}$ (ejtsd: x mínusz u a négyzeten plusz y mínusz v a négyzeten egyenlő r-négyzet) egyenletet visszük be, és az r helyébe egy pozitív számot, u és v helyébe pedig egy-egy tetszőleges számot írunk.
Tippmix Hu Mobil, 2024